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수학/올림피아드

2017 IMO P2

leejseo 2017. 7. 26. 21:55

문제. 모든 실수 $x$, $y$에 대하여 다음을 만족시키는 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$을 구하시오.

$$f(f(x)f(y))+f(x+y) = f(xy)$$


풀이.

먼저, $f(x) = 0$인 상수함수의 경우 성립한다. 이제, $f(0)$가 $0$이 아니라고 가정하자.

이제, $G(a, b)$를 위의 식에 $x = a$, $y = b$를 대입한 식이라고 정의하자.

그러면, $G(0, 0) \Rightarrow f(f(0)^2) = 0$.


Claim 1. $f(c) = 0$이면, $c = 1$이다.

Proof. 아니라고 가정하자. 이제, $G(\frac{c}{c-1} , c)$에 대해 생각해보면, $f(0)$가 $0$이 아니기 때문에 좌변과 우변이 서로 다른 값이 되어 모순이다.


이제 $f(0) = \pm 1$이고, $f(1) = 0$임을 알 수 있다. 그런데, $f$가 만족한다면, $-f$도 만족하기 때문에, 일반성을 잃지 않고, $f(1) = 0$, $f(0) = -1$이라고 가정할 수 있다. 그러면, $G(x, 1)$로 부터 $f(x+1) = f(x) + 1$이라는 결과를 얻을 수 있다.


Claim 2. $f$는 단사함수이다.

Proof. $f(a) = f(b)$ 이고 $a \neq b$인 두 실수 $a, b$가 존재한다고 가정하자. 그러면, 위의 사실로 부터, 정수 $n$에 대하여 $f(a+n) = f(b+n)$을 만족한다. 따라서, $a < 1$이라고 가정할 수 있다. 그러면, 두 실수 $u$, $v$가 존재해서 $a = uv+1$과 $b  = u+v$ 를 만족시킨다. 그러면, $f(f(u)f(v)) + f(b) = f(a-1) = f(a) -1$ $= f(b) - 1$이다. 따라서, $f(f(u)f(v)) +1 = f(f(u)f(v)+1) = 0$이 된다. 따라서, $f(u)f(v) = 0$이라 $u, v$  가운데 하나 이상이 1이 되어서 $a = b$가 되어 모순이다. 따라서, $f$는 단사여야 한다.


이제, $G(x, -x)$와 $G(x, 1-x)$에 생각해보면, $f(x) = x-1$이어야 함을 알 수 있다. 또한, 대입해보면 실제로 된다.


따라서 답은 $f(x) = 0, \pm(x-1)$이다.

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