티스토리 뷰

수학

PMA 7단원 정리

leejseo 2019. 10. 1. 16:44

공부하면서 혼자 정리해보고 있습니다. 아직 Intuition이 다소 모자란 것 같네요.

계속 추가 예정.

 

Definition 1. 함수들의 수열 $\{f_n\}$이 있다. 모든 $x$에 대해 $\{f_n(x)\}$가 수렴한다고 하자. 함수 $f$를

$$ f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n(x) $$

로 정의하자. 이 때, $\{f_n\}$의 극한을 $f$로 정의하고, $\{f_n\}$이 $f$로 pointwise converge 한다고 부른다.

 

참고로, 연속 함수들의 수열 $\{f_n\}$이 $f$로 점별 수렴할 때, $f$가 $x$에서 연속임은

$$\lim_{t \to x} f(t) = f(x)$$

임을 의미하고, 이는

$$\lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) = \lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t)$$

임을 의미합니다.

 

Example 2. 양의 정수 $m, n$에 대해

$$s_{m,n} = {m \over m+n}$$

으로 정의하면, $\displaystyle \lim_n \lim_m s_{m, n} = 1 \neq 0 = \lim_m \lim_n s_{m, n}$이다.

 

Example 3. $\displaystyle f_n(x) = {x^2 \over (1+x^2)^n}$으로 정의하고, $f(x) = \sum_n f_n(x)$로 정의하면,

$$f(x) = \begin{cases} 0 & x = 0 \\ 1+x^2 & x \neq 0 \end{cases}$$

이 된다. 다시 말해, 연속함수들의 급수가 수렴하더라도, 연속이 아닐 수 있다.

 

Example 4. 닫힌 구간 $[0, 1]$에서 $f_n(x) = n^2x (1-x^2)^n$이면, $\lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0$이지만, $\lim_{n \to \infty} \int_0^1 f_n(x)dx > 0$이다. (당연하게도, $\int_0^1 \lim_{n \to \infty} f_n(x) dx = 0$이다.)

 

Definition 5. $\{f_n\}$이 함수 $f$로 uniformly converge 함은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 어떤 정수 $N$이 존재해 모든 $x$에 대해 $n \ge N \implies |f_n(x) - f(x)| \le \epsilon$이 성립함을 의미한다.

 

함수열의 uniform convergence에 대해서도 Cauchy criterion을 사용할 수 있다.

 

Theorem 6. $\{f_n\}$이 uniformly converge 함은 임의의 $\epsilon > 0$에 대해 어떤 정수 $N$이 존재해 모든 $x$에 대해 $m, n \ge N \implies |f_n(x) - f_m(x) | \le \epsilon$이 성립함과 동치이다.

 

Theorem 7. $\{f_n\}$이 $f$로 점별수렴한다고 하자. $M_n$을

$$M_n = \sup_{x} |f_n(x) - f(x)|$$

으로 정의할 때, $f_n$이 $f$로 uniformly converge 함과 $M_n \to 0$과 동치이다.

 

Theorem 8. $|f_n(x)| \le M_n$이라 할 때, $\sum M_n$이 수렴하면, $\sum f_n$도 수렴한다.

 

Proof. 임의의 $\epsilon > 0$이 주어졌다고 하자. $M_n$에 대한 Cauchy criterion에 의해 $N > 0$이 존재해 $n, m \ge N \implies \sum_{i=n}^m M_i \le \epsilon$이다. 그런데, $|\sum_{i=n}^m f_i(x)| \le \sum_{i=n}^m M_i$ 이므로 증명이 종료된다.

 

Theorem 9. $f_n$이 $f$로 uniformly converge 한다고 하자. 이 때,

$$\lim_{t \to x} \lim_{n \to \infty} f_n(t) = \lim_{n \to \infty} \lim_{t \to x} f_n(t)$$

이다.

 

Proof. $A_n = \lim_{t \to x} f_n(t)$이라 하자. 그러면, 우리가 보이고자 하는 것은 $\lim_{t \to x} f(t) = \lim_{n \to \infty} A_n$이 된다. ($A_n$의 수렴성 또한 결과의 일부이다.)

<step 1> $f_n$의 uniform convergence를 이용해 $A_n$이 코시 수열임을 보인다.

<step 2> $A_n \to A$라 할 때, $|f(t) - A| \le |f(t) - f_n(t)| + |f_n(t) - A_n| + |A_n - A|$로 쪼개어 $\lim_{t \to x} f(t) = A$임을 보인다.

 

Theorem 10. $\{f_n\}$이 연속 함수들의 수열이고, $f_n \to f$로 uniformly converge 하면, $f$는 연속 함수이다.

 

Theorem 11. $K$가 compact($\mathbb{R}^n$에선 closed and bounded와 동치이다)이고

1) $\{f_n\}$이 $K$ 상에서 연속인 함수들의 수열이고,

2) $\{f_n\}$이 연속함수 $f$로 점별수렴하고,

3) $f_n(x) \ge f_{n+1}(x)$이면,

$f_n \to f$로 uniformly converge한다.

 

Proof. $g_n = f_n - f$라 할 때, $g_n \to 0$으로 uniformly converge 함을 보이면 된다.

$g_n(x) \ge x$인 $x \in K$들의 모임을 $K_n$이라 하자. 그러면, $K_n$은 compact이다. 또한, $g_n \ge g_{n+1}$이므로, $K_n \supseteq K_{n+1}$이 된다.

$x$를 고정하면, $g_n(x) \to 0$이므로, $n$이 커지면 $x \not \in K_n$이 되어, $x \not \in \cap K_n$이다.

따라서, $\cap K_n = \emptyset$이므로, $K_N = \emptyset$인 $N$이 존재하고, 고로 $n \ge N$에 대해 $0 \le g_n(x) < \epsilon$이 된다.

 

Theorem 12. $\mathcal{C}(X)$를 거리공간 $X$ 상의 complex-valued, continuous, bounded function의 집합이라 하자. 그러면 supremum norm에 대해 $\mathcal{C}(X)$는 complete metric space가 된다.

 

Uniform convergence와 적분에 대해 알아보자.

 

Theorem 13. $\alpha$가 $[a, b]$에서 단조 증가하는 함수라고 하자. $f_n \in \mathcal{R}(\alpha)$이고, $f_n \to f$ uniformly 일 때, $f\in R(\alpha)$이고,

$$ \int_a^b f d\alpha = \lim_{n \to \infty} \int_a^b f_n d \alpha.$$

 

Proof. $\epsilon_n = \sup | f_n(x) - f(x)|$로 잡아주면, $\overline{\int} f d \alpha - \underline{\int} f d \alpha \le 2 \epsilon_n (\alpha(b) - \alpha(a))$. $\epsilon_n \to 0$ 이므로, 상적분과 하적분이 같으므로, $f \in \mathcal{R}(\alpha)$. 

비슷하게, $|\int f d\alpha - \int f_n d \alpha| \le \epsilon_n (\alpha(b) - \alpha(a))$ 가 되어서 우리가 원하는 결과를 얻을 수 있다.

 

Uniform convergence와 미분에 대해 알아보자.

 

Theorem 14. $[a, b]$에서 미분 가능한 함수들의 수열 $\{f_n\}$이 어느 $x_0 \in [a, b]$에 대해 $\{f_n(x_0)\}$가 수렴한다고 하자. 만약, $\{f_n'\}$이 $f$로 uniformly converge하면, $f'(x) = \lim f_n'(x)$이다.

 

Fact 15. 실수 전체에서 미분 불가능한 연속함수가 존재한다.

 

Definition 16. $|f_n(x)| < M$인 상수 $M$이 존재하면 $f_n$이 uniformly bounded라 부른다.

 

Theorem 17. (Ascoli's Theorem) $K$가 compact하고 $K$에서 정의된 함수 $f_n$들이 연속이고, $\{f_n\}$이 점별 유계이며, $K$상에서 equicontinuous이면,

- $\{f_n\}$은 $K$에서 uniformly bounded이고,

- $\{f_n\}$은 uniformly converge하는 부분 수열을 포함한다.

 

Theorem 18. $f$가 $[a, b]$ 상의 continuous complex function이고, uniformly하게 $\lim_{n \to \infty} P_n(x) = f(x)$인 다항식들의 수열 $\{P_n\}$이 존재한다. 덧붙여, $f$가 real이면, $P_n$ 또한 real이다.

'수학' 카테고리의 다른 글

PMA 7단원 정리  (0) 2019.10.01
댓글
댓글쓰기 폼