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Note: ${n \choose r} = {}_n C_r$이다.

 

먼저, 고등학교 미적분 시간에 배우는 내용을 활용하여 명제 몇 가지를 증명하고 가자.

 

Proposition 1. $n \ge 2$인 정수 $n$에 대해 $\int \sin^n x dx = -\frac{1}{n} \cos x  \sin^{n-1} x + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2} x dx$.

 

증명은 간단한 부분적분을 통해 할 수 있다.

 

Proposition 2. $I_n = \int_0^{2\pi} \sin^n x dx$라 하자. 이 때, 다음이 성립한다:

$$I_{2n} = \frac{2n-1}{2n} \frac{2n-3}{2n-2} \cdots \frac{1}{2} \frac{\pi}{2}, \quad I_{2n+1} = \frac{2n}{2n+1} \frac{2n-2}{2n-1} \cdots \frac{2}{3}.$$

 

Proof Sketch. Proposition 1에 의해 $I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2}$가 성립한다. 이를 이용하여 축차대입법을 통해 계산하면 된다. □

 

Proposition 3. $\lim_{n\to \infty} \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} = 1$.

 

Proof Sketch. $\{ I_n \}$이 감소수열임은 쉽게 확인할 수 있다. 이를 Proposition 2의 증명에서 얻은 사실과 함께 활용하면 $1 \le \frac{I_{2n}}{I_{2n+1}} \le \frac{I_{2n-1}}{I_{2n+1}} = 1+ 1/2n$이 된다. 따라서 조임 정리(Squeeze Theorem)에 의해 증명이 완료된다. □

 

보조정리 몇 개를 증명하고 가자.

 

Lemma 1. (Wallis' Product) 다음이 성립한다:

$$ \frac{2 \cdot 2}{1 \cdot 3} \cdot \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 5} \cdots \frac{2n \cdot 2n}{(2n-1) \cdot (2n+1)} \cdots = \frac{pi}{2},$$

다시 말해, $$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2 - 1} = \frac{\pi}{2}.$$

 

증명은 위의 명제들을 활용하면 간단하다.

 

Lemma 2. $\frac{1}{2^{2n}} {2n \choose n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}$.

 

Proof. Lemma 1의 infinite product의 일반항을 다음과 같이 식을 변형해나가며 적을 수 있다:

$$\begin{align*}\prod_{k=1}^n \frac{4k^2}{4k^2-1} &= \frac{1}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{4k^2}{(2k-1)^2} \\& = \frac{1}{2n+1} \prod_{k=1}^n \frac{(2k)^4}{((2k)(2k-1))^2} \\ &= \frac{1}{2n+1} \frac{2^{4n} (n!)^4}{(2n)!^2} \\ &\approx \frac{1}{2n} \frac{2^{4n}(n!)^4}{(2n)!^2} \\ &= \frac{1}{2n} \frac{(2^{2n})^2}{{n \choose 2}^2} \end{align*}.$$

따라서, $n$이 충분히 커지면 $$\frac{1}{2^{2n}} {2n \choose n}  \approx \sqrt{\frac{1}{2n} \frac{2}{\pi}} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.$$ □ 

 

Proposition 4. $x$가 충분히 0에 가까울 때 $\log(1+x) \approx x$이다.

 

증명은 미적분 수업시간에 했을 것이다.

 

Lemma 3. ${2n \choose n+k} \approx {2n \choose n} \exp \left( -\frac{k^2}{n} \right)$.

 

Proof. 먼저, 간단한 식 변형을 통해 다음을 알 수 있다:

$$ \begin{align*} {2n \choose n+k} / {2n \choose n} &= \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(n+k)(n+k-1) \cdots (n+1)} \\ &= \frac{ (1-1/n)(1-2/n) \cdots (1-(k-1)/n)}{(1+k/n)(1+(k-1)/n) \cdots (1+1/n)} .\end{align*}$$

그리고 양변에 로그를 취해주면 키야 양변에 로그를,,,취한다!!!! (Proposition 4를 활용하여 식을 근사하였다)

$$ \begin{align*} \log \left( {2n \choose n+k} / {2n \choose n} \right) &= \log(1-\frac{1}{n}) + \log(1 - \frac{2}{n}) + \cdots + \log(1-\frac{k-1}{n}) - \left( \log(1+\frac{k}{n}) + \log(1+\frac{k-1}{n}) + \cdots + \log(1+\frac{1}{n}) \right) \\ &\approx -\frac{k(k-1)}{2n} - \frac{k(k+1)}{2n} \\ &= -\frac{k^2}{n}. \end{align*}$$

양변에 $\exp$를 취해주면 우리가 원하는 결과를 얻는다. □

 

이제 중심극한정리의 본 증명에 들어가자. 편의상 $B(2n, 1/2)$를 생각한다.

 

Theorem. (중심극한정리) $n$이 충분히 크면 $B(2n, 1/2) \sim N(n, n/2)$이다.

 

Proof. "바른" 동전(fair coin)을 $2n$번 던져서 앞면이 $n+k$번 나올 확률을 생각해보자.

이는 $1/2^{2n} {2n \choose n+k} \approx 1/2^{2n} {2n \choose n} \exp(-k^2/n) \approx \ 1/\sqrt{\pi n} \exp(-k^2/n)$이 된다. 그런데, $N(n, n/2)$의 확률 밀도 함수는 다음과 같다:

$$\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) = \frac{1}{\sqrt{n/2} \sqrt{2\pi}} \exp \left( - \frac{(x-n)^2}{2 \frac{n}{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \exp \left( - \frac{(x-n)^2}{n} \right).$$

이를 앞서 동전을 던지는 상황에서의 결과와 비교해보면 증명이 종료된다. 

 

예전에 어디에선가 봤던 글을 토대로 노트에 정리했던걸 그대로 옮겼다. 다음에 중심극한정리를 또 증명하라 하면 그 때는 Moment를 이용하여 할거다.

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